När Emma gick ut med sin hund en vanlig eftermiddag i Stockholm stannade plötsligt två män bredvid henne och erbjöd henne hotfullt att “ta en tur tillsammans”…
Så här hade hon aldrig sett sin hund förut: hennes ögon blänkte av raseri, tänderna blottades i ett varningsleende. Innan Emma ens hann förstå vad som hände, hade hunden redan kastat sig mot en av männen som grep tag i hennes arm, knuffade ner henne på marken och tornade upp sig över henne med ett mörkt morrande…
När Emma fyllde sju år fick hon sitt eget stora, ljusa rum. Men hon vägrade bestämt att sova där ensam. Varje natt lade sig en av föräldrarna ibland mamma, ibland pappa bredvid henne tills hon somnade. Om hon vaknade mitt i natten och ingen var där, tog hon kudden och filten och flyttade in till föräldrarnas sovrum. Varken böner eller uppfostrande samtal hjälpte inget förändrades, trots att hon blev äldre.
Ända tills en dag när lösningen helt oväntat rullade in i hennes liv i form av en liten, vit, puffig hundvalp som först skällde rädd och sen genast kissade på golvet. När hon tittade närmare såg hon en söt och rar liten varelse, och Emma ropade genast: “Mamma, kan vi behålla den, snälla?” Och så började förhandlingarna: att plugga ordentligt, städa sitt rum, gå ut med hunden ensam… och sova i sitt eget rum utan mamma och pappa. De tre första villkoren accepterade Emma direkt, men det sista gjorde henne tveksam tills hon insåg: “Men nu är jag ju inte ensam längre!”
Så kom Freja in i deras liv på papperet en westie, men i själ och hjärta en riktig dam med stark personlighet. Och till Emmas förvåning höll hon sitt ord. När Freja kom började hon sova i sitt eget rum, och hunden blev hennes trogna följeslagare både på nätterna och i vardagen.
Freja var en riktig skönhet: välvårdad, medveten om sin charm och betedde sig som en äkta dam. Andra hundar ignorerade hon nästan helt, men mot barn som ville klappa henne var hon tålmodig, nästan nedlåtande som om hon accepterade deras beundran. Men om en annan hund kom för nära, blottade hon genast tänderna och morrade upprört.
För att försöka ändra Frejas beteende gick Emma och hennes mamma en hundkurs i tre veckor. Men antingen var instruktören inte tillräckligt erfaren, eller så var Freja för självständig inget förändrades. Slutligen sa experten: “Hon ser er som sin flock. Hon behöver inget annat.” Och så blev det de tre hade det bra ihop.
På promenader gick Emma och Freja ofta till en övergiven gräsplan bakom huset. Där hade det en gång stått baracker, men nu fanns bara rester av fundament och vilda fruktträd kvar. Ena sidan gränsade till ett gammalt trähusområde som höll på att rivas. De flesta hundägare gick till den fina hundrastgården i närheten, men Emma och Freja föredrog den här romantiska platsen med sin känsla av frihet och avskildhet.
Och det var här Freja mötte sitt öde.
Den sommaren fyllde Emma femton, och Freja blev åtta. Emma var lång och smal nu, med drömmande blick och telefonen i handen. Freja uppförde sig som en självsäker, vuxen dam. De promenerade över gräsplanen: Emma försjunken i tankar, Freja nösande i gräset och plötsligt hände det! En stor, lurvig hund kom rusande, mest lik en vallhund men med ännu rufsigare päls och omättlig energi. En glad, stor, högljudd varelse som hoppade runt Freja, nös mot henne, slickade henne och fick henne att tändas helt. Freja stod som förstenad, osäker på vad hon skulle göra med den här fräcka typen.
“Var inte rädd, lilla vän!” ropade en äldre dam i sjuttioårsåldern som kom fram med en käpp i handen. “Han är lekfull men snäll. Har aldrig bitit någon!”
“Det ser jag,” skrattade Emma när hon hukade sig ner, och den glada lurviga klumpen började entusiastiskt slicka hennes händer, svansen viftade så att dammet virvlade. “Man kan bara vara rädd för att bli ihjäl slickad!”
“Jag har alltid låtit honom springa på gården, men aldrig tagit ut honom. Men igår kom min barnbarn och släppte ut honom och han blev så glad! Så nu tänkte jag ta med honom. Men så fort han såg din hund sprang han rakt fram.”
“Och min kan inte ta ögonen från honom. Jag tror… hon är förälskad!”
“Vilket härligt sammanträffande! Tillsammans blir livet roligare. Han heter Bosse. Jag heter Maj-Britt.”
Från den kvällen blev Bosse en fast del av deras kvällspromenader. Ibland väntade han redan på gräsplanen, och om han var sen hörde Freja ett glatt skall och inom en minut kom han springande. De jagade varandra i gräset, lekte och rullade i dammet.
Emma tog med sig en filt, bredde ut den under ett äppelträd och läste en bok. Freja och Bosse, efter att ha lekt klart, lade sig bredvid och vilade nos mot nos. Ibland kom Maj-Britt också hon tog med sig lite bakverk, satte sig på filten och berA **constrained optimization** problem is a problem of the form
> minimize (or maximize) $f(x)$ subject to $x \in \Omega$
where $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ is a real-valued objective function and $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ is called the **feasible set** or **constrained set**.
If $\Omega = \mathbb{R}^n$, then the problem is **unconstrained**.
**Note**: Maximizing $f(x)$ is equivalent to minimizing $-f(x)$, so without loss of generality we only need to consider minimization.
### Types of Constraints
There are several types of constraints. For example:
– **Equality constraints** of the form $h(x) = 0$ where $h: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$.
– **Inequality constraints** of the form $g(x) \leq 0$ where $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^p$.
Thus, the feasible set is
$$\Omega = \{ x \in \mathbb{R}^n : h(x) = 0, g(x) \leq 0 \}$$
### Lagrange Multipliers
**Lagrange multipliers** are used in constrained optimization to find the optima of a function subject to equality constraints.
Consider the problem:
> minimize $f(x)$ subject to $h(x) = 0$
where $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ and $h: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ are continuously differentiable.
The **Lagrangian function** $L: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}$ is defined as:
$$ L(x, \lambda) = f(x) + \lambda^T h(x) $$
where $\lambda \in \mathbb{R}^m$ is the **Lagrange multiplier** vector.
### Necessary Conditions for Optimality
If $x^*$ is a local minimizer of $f$ subject to $h(x) = 0$, and if the gradients $\nabla h_1(x^*), \dots, \nabla h_m(x^*)$ are linearly independent, then there exists a unique $\lambda
